Transport equations with rough force fields and applications to the Vlasov-Poisson equation

The aim of this article is to give new dispersive tools for certain kinetic equations. As an application, we study the three dimensional Vlasov-Poisson equation for initial data having strictly less than six moments in Lx,ξ where the non linear term E is a priori rough. We prove via new dispersive effect that in fact the force field E is smooth in space at the cost of a localisation in a ball and an averaging in time. We deduce new conditions to bound the density ρ in L∞ and to have existence and uniqueness of global weak solutions of the Vlasov-Poisson equation with bounded density for initial data having strictly less than 6 moments in Lx,ξ. The proof is based on a new approach which consists in establishing a priori moment effects on the one hand for linear transport equations with rough force fields and on the other hand along the trajectories of the Vlasov-Poisson equation. L’objectif de cet article est de donner de nouveaux outils dispersifs pour certaines équations cinétiques. Comme application, on étudie l’équation de Vlasov-Poisson en dimension 3 pour des données initiales ayant strictement moins de six moments dans Lx,ξ où le terme non linéaire est a priori peu régulier. On prouve, via de nouveaux effets dispersifs que, en fait, le terme de force E est régulier en espace quitte à se localiser sur une boule en espace et à intégrer en temps. On en déduit de nouvelles conditions pour que la densité ρ soit dans L∞ et pour obtenir existence et unicité de solutions faibles de l’équation de Vlasov-Poisson avec densité bornée pour des données initiales ayant strictement moins de six moments dans Lx,ξ. La preuve est basée sur une nouvelle approche qui consiste à établir des effets de moments a priori d’une part pour des équations de transport avec des termes de force peu réguliers et d’autre part le long des trajectoires de l’équation de Vlasov-Poisson.